Søren in Norwegen

Obligatorischer Videoschnipsel.

Neben den in den letzten zwei Beitraegen diskutierten Aussteigern gibt es auch das entgegengesetzte Phaenomen: Seiten die nach dem Abbruch der Kette von Selbstzitierungen dann auf einem høheren Linklevel pløtzlich wieder neue Selbstreferenzen aufweisen.
Bevor ich naeher darauf eingehe, muss ich zunaechst zwei Sachen nochmals explizit sagen. Zum Einen, sind bei den Daten mit denen die Entwicklungsparameter bestimmt wurden weder Aussteiger noch reaktivierte Seiten dabei. Sobald fuer eine Seite die Kette von Selbstreferenzen abgebrochen ist, wurde besagte Seite nicht weiter beruecksichtigt bei den erwaehnten Daten.
Zum Anderen kønnen (so wie bei den Aussteigern) auch hier wieder Doppelzaehlungen auftreten. Eine Kette an Selbstreferenzen kann mehrfach abbrechen und reaktiviert werden. Aber wie bei den den Aussteigern denke ich nicht, dass diese all zu sehr ins Gewicht fallen.

Zunaechst ist zu sagen, dass es zahlenmaeszig erstaunlich viele Reaktivierungen gibt:

Ab LL₁₁ dann sogar mehr als Aussteiger und bei spaeteren Linkleveln bis zu einer Grøszenordnung mehr. Aber die absoluten Zahlen sind dann schon nur noch im Bereich von hundert oder weniger Seiten.

Mhmm … was mache ich denn nun mit diesen Daten? Ist ja auch ein bisschen peinlich, denn die letzten Mal wollte ich zu viel simulierte Seiten los werden und nun sollen die wieder dazu kommen? … Mist … ich komme wohl nicht drumrum mir das mal genauer anzuschauen. Mir sind die vielen Verteilungen aber langsam ueber, weswegen ich das heute mal ‚wieder als  Heatmaps darstelle. Es gibt zwei Aspekte von Interesse: wie lang eine reaktivierte Kette wird und wieviele Seiten im Durchschnitt dazu kommen … pro Linklevel natuerlich.
Ich vermute aber, dass Reaktivierungen in der Mehrzahl „Blips“ sind, also wenn eine Seite eher aus „Versehen“ noch ein Mal (und nur ein Mal) zitiert wird. Diese Vermutung wird durch die Daten bestaetigt:

Zwei Dinge sind zu beachten. Zum Einen geht die Skala fuer das Linklevel erst bei 2 los. Auf LL₁ kann nix reaktiviert werden, weil ja (von Artefakten abgesehen) keine Seite auf LL₀ Selbstreferenzen haben kann. Das bedeutet, dass der frueheste Ausstieg auf LL₁ und die frueheste Reaktivierung auf LL₂ stattfinden kann.
Zum Anderen ist die Farbskala logarithmisch … also die Farbskala an sich ist natuerlich linear, aber praesentiert logarithmische Werte.

Wie man sieht, ist die Aussage mit den „Blips“ bereits hier zu 50 % bestaetigt. Dies aeuszert sich in dem roten Bereich in der linken unteren Ecke. Es werden zwar ganz viele Seiten reaktiviert (im Maximum fast 500-tausend) die Laenge der reaktivierten Kette ist aber nur eins.
Irgendwie war das zu erwarten. Auf LL₂ bis so ca. LL₅ sind die Seiten thematisch noch relativ nah und aufgrund der totalen Anzahl an zur Verfuegung stehenden Seiten kann dann doch nochmal die eine oder andere Selbstreferenz auftreten.

Dem schlieszt sich ein schmales gruenes Band an welches fuer Seiten mit „mittellangen“ Ketten steht. Hier kommt aber die Logarithmushaftigkeit der Farbskale ins Spiel, denn „gruen“ bedeutet, dass es sich dabei nur noch um hunderte, bis høchstens ein paar wenige tausende Seiten handelt. Auf das gruene Band folgt ein relativ breiter blauer Bereich an laengeren Ketten. Davon gibt es dann aber meist nur eine einzige Seite die derart reaktiviert wird.

Die Anzahl der durchschnittlichen Selbstreferenzen die dazu kamen hat mich etwas ueberrascht:

Der Durchschnitt berechnete sich auf die folgende Weise. Fuer jede Seite mit einer gegebenen (reaktivierten) Kettenlaenge sind alle in dieser Kette enthaltenen Selbstreferenzen aufsummiert worden. Am Ende wurde dieser Wert durch die Anzahl der relevanten Seiten und besagte Kettenlaenge dividiert. Das ist also zwei Mal „durchgeschnitten“.

Die Ueberraschung liegt nun darin, dass die durchschnittlich dazukommende Anzahl an Selbstreferenzen unabhaengig von der Kettenlaenge ungefaehr Eins betraegt. Mit Ausnahme der nicht-blauen Punkte am linken Rand; aber dazu komme ich gleich.
Eigentlich ist das nicht komplett ueberraschend. Fuer relativ kurze Ketten hatte ich das erwartet und das waeren dann die fehlenden 50 % fuer die Bestaetigung der Aussage mit den „Blips“. Also das ist gut.
Seiten die lange reaktivierte Ketten (also die separaten Punkte ueber dem „blauen Feld“) aufweisen, haette ich aber zunaechst erwartet, dass es sich dabei um wichtige Seiten handelt und die einen entsprechend (viel?) høheren Durchschnitt an Selbstreferenzen aufweisen.
Ein Beispiel waere der oberste Datenpunkt bei LL₁₄. Diese Seite weist eine Kette auf die ueber 43 weitere Linklevel geht. Aber jedes Mal wird die Seite nur ein einziges Mal zitiert. Ich vermute, dass es sich hierbei auch wieder um eine Art von Artefakt handelt.

Wenn ich aber laenger drueber nachdenke, dann passt diese Ueberraschung nicht mit den „Blips“ zusammen. Warum sollte die Kette an Selbstreferenzen fuer eine wichtige Seite abbrechen und dann stark weitergehen? Da scheint es durchaus sinnvoller zu sein, dass ein paar wenige Seiten oftmals hintereinander „blipsen“. Rein statistisch gesehen wuerde ich das bei fast 6 Millionen Seiten durchaus fuer møglich halten.

Der nicht-blaue Streifen am linken Rand hingegen drueckt diese Vermutung dann doch aus. Aus der ersten Heatmap sehen wir, dass die nicht-blauen Punkte durch relativ wenige Seiten zustande kommen. Es ist durchaus leicht vorstellbar, dass spaeter (relativ) vielzitierte Seiten auf LL₁ keine Selbstzitate haben. Einfach weil die Anzahl der dort „verfuegbaren Seiten“ welche die Ursprungsseite zitieren kønnen stark begrenzt ist. Und dann geht’s halt los mit der Kette auf LL₂ oder LL₃.
Der rote Punkt an sich kommt durch nur 10 Seiten zustande. Da braeuchte nur eine einzige mit vielen Selbstzitaten auf LL₂ dabei sein und das wuerde einen hohen Durchschnittswert ergeben.
Ein anderes Beispiel sind die zwei gruenen Datenpunkte darueber. Die kommen jeweils durch nur eine Seite zustande auf die das Vermutete dann wohl zutrifft.
Der Rest des nicht-blauen Bereichs ist im Wesentlichen eine Variation dessen, dass hier relativ wenige Seiten zum Signal beitragen und deswegen schon eine Ausnahme den Durchschnitt stark verschieben kann.

Lange Rede kurzer Sinn: Reaktivierungen spielen an sich nur fuer kleine Werte von Selbstzitierungen ein Rolle. Das kann in der totalen Anzahl an Selbstreferenzen pro Linklevel durchaus einen signifikanten Beitrag zur Folge haben aber nicht in der Gesamtheit der Datenpunkte der einzelnen Verteilungen.
Das ist natuerlich gut, denn die ich versuchte ja eigentlich Seiten los zu werden, weil ich insgesamt zu viele simuliere. Andererseits kønnte es durchaus sein, dass bei mittelhohen Linklevel solche Reaktivierungen zum Signal im „Schwanz“ beitragen..

So, das soll genug sein fuer heute. Beim naechsten Mal schauen wir mal kurz auf die Ausreiszer und dann sollte es das endlich gewesen sein mit den Selbstreferenzen.

Zum Ende des letzten Beitrags zeigte ich (an drei Beispielen), fuer wieviele Seiten die Kette an Selbstreferenzen abbricht. Dies in Abhaengigkeit vom Linklevel und von der Anzahl der Selbstreferenzen. Ich erwaehnte auch, dass man diese Information nutzen kann um die Diskrepanzen zwischen Simulation und Messung (auf Seiten der Simulation) zu reduzieren (oder zumindest zu erklaeren).

Wie ebenso beim letzten Mal erwaehnt, so muesste man, um das ordentlich zu machen, den (mehr oder weniger) allgemeingueltigen Zusammenhang zwischen Anzahl der „Aussteiger“, Linklevel und Anzahl der Selbstreferenzen in Form einer Funktion ermitteln … was mir zu viel Arbeit ist. Da ich nur mal schauen will, wie gut diese einfache Korrektur funktioniert, werde ich hier einen hybriden Ansatz verfolgen, bei der ich Simulationsresultate und Beobachtungen „vermischen“ werde. Fuer eine richtige Simulation kann man das natuerlich nicht so machen.
Das Ganze werde ich auch nicht allgemein machen sondern an einem sehr konkreten Beispiel: die Diskrepanz zwischen Simulation und Messung auf LL₇ fuer Seiten die auf LL₇ 10 Selbstreferenzen haben. Ihr meine lieben Leserinnen und Leser seid sicher schlau genug das verallgemeinernte Prinzip dahinter zu erkennen.

Zur Erinnerung nochmals der Vergleich zwischen Simulation und Messung (linkes Diagramm) und auszerdem die Anzahl der Aussteiger in Abhaengigkeit von der Anzahl der Selbstreferenzen fuer LL₄ bis LL₆.

Los geht’s mit der simplen Beobachtung, dass die simulierte Anzahl Seiten auf LL₇ mit 10 Selbstreferenzen gleich 3428 ist waehrend der „gemessene“ Wert nur 967 betraegt. Das ist eine Diskrepanz von 2461.

Der simulierte Wert ergibt sich aus der simulierten Entwicklung des Systems, welche mit diesem maechtigen Gesetz beschrieben wurde:

Von hier aus muessen wir rueckwaerts rechnen um heraus zu finden, welche Seiten auf LL₆ zu Seiten mit 10 Selbstreferenzen auf LL₇ gefuehrt haben. Wenn man das tut erfaehrt man, dass auf LL₆ Seiten mit 17, 18, 19 und 20 Selbstreferenzen anteilsmaeszig zu Seiten mit 10 Selbstreferenzen auf LL₇ gefuehrt haben.
Wie bitte? Wie kønnen denn 4 verschiedenartige Seiten zu nur einem Wert fuehren? Die Antwort darin, dass die Anzahl an Selbstreferenzen nur ganzzahlig sein kann und erklaert warum das Wørt „anteilszmaeszig“ im obigen Satz wichtig ist. Ein Beispiel macht das Ganze etwas anschaulicher.

Eine Seite mit 17 Selbstreferenzen auf LL₆ hat nach dieser Formel 9.129 Selbstreferenzen auf LL₇. Kønnte man ja erstmal denken, dass das leicht auf 9 abzurunden ist. Aber wie beim letzten Mal explizit erwaehnt, wird mit der Entwicklungsgleichung nur der Durchschnitt der Selbstreferenzen auf dem naechsten Linklevel berechnet. Nun habe ich aber mehr als eine Seite mit 17 Selbstreferenzen auf LL₆ und wenn ich das Ergebniss fuer alle auf 9 abrunde, dann stimmt das nicht mehr mit der Formel ueberein.
Deswegen habe ich mich entschieden, dass (fuer diesen Fall, was aber repraesentativ ist fuer den allgemeinen Fall) 12.9 % (also der Anteil nach dem Komma) aller Seiten mit 17 Selbstreferenzen auf LL₆ zehn Selbstreferenzen (also eine mehr) auf LL₇ haben wird. Damit stimmt der Durchschnitt wieder.
Von den Seiten mit 18, 19 bzw. 20 Selbstreferenzen auf LL₆ tragen jeweils 61.0 %, 91.0 % bzw. 43 % zu Seiten mit zehn Selbstreferenzen auf LL₇ bei.

Das war die erste Sache. Nun muessen wir im rechten Diagramm nachschauen, wie viel Seiten mit 17 (bzw. 18, 19 oder 20) Selbstreferenzen auf LL₆ es in Echt niemals bis LL₇ schaffen (die ich aber in der Simulation „mitschleife“). Das sind 130 (bzw. 100, 104 und 76) Seiten. Davon darf ich fuer den ganz konkreten Fall hier natuerlich nur den Anteil beruecksichtigen, der dem obigen Anteil entspricht. Das heiszt ich kann vom simulierten Wert von 3428 Selbstreferenzen nur 205 (= 17 + 61 + 94 + 33) Seiten abziehen.

Zwischenbemerkung: den Wert kann man einfach abziehen, denn die Anzahl der Aussteiger muss NICHT korrigiert werden bezueglich der Aussteiger auf frueheren Linkleveln. Das liegt daran, weil die „experimentellen“ Daten bzgl. der Aussteiger pro Linklevel natuerlich _nur_ anhand der „Ueberlebenden“ ermittelt wurden. In der Messung werden schlieszlich keine Seiten „mitgezogen“ die da nicht sein sollten.
Auch wenn es hier nichts ausmacht, so ist es wichtig solche Sachen zu diskutieren, denn da kann man u.U. schnell in eine „Falle“ tappen.

Das war aber nur der erste (Rueckwaerts)Schritt und muss fuer den Uebergang von LL₆ zu LL₅ und dann nochmal von LL₅ zu LL₄ wiederholt werden. Dabei erweitert sich der Bereich der beitragenden Seiten zunaechst auf alle Seiten mit 32 bis 42 Selbstreferenzen auf LL₅ und dann noch mehr auf alle Seiten mit 67 bis 95 Selbstreferenzen auf LL₄.
Die Summe der aussteigenden Seiten betraegt 199 auf LL₅ und 82 auf LL₄. Die letzte Zahl wird trotz des erweiterten Bereichs beitragender Seiten kleiner, weil die Anzahl der aussteigenden Seiten mit wachsender Anzahl an Selbstreferenzen so schnell abnimmt. Das ist auch der Grund, warum in (!) diesem Fall der Schritt zu LL₃ (dem Ausgangszustand) nicht gemacht werden muss, denn das faellt nicht mehr signifikant ins Gewicht. Aber Vorsicht! Betrachtet man Seiten mit deutlich weniger als 10 Selbstreferenzen auf LL₇ so gilt das im Allgemeinen nicht!
Summa summarum verringert sich durch diese Korrektur die Diskrepanz zwischen gemessenen und simulierten Werten auf 1975.

1975 hørt sich erstmal immer noch voll viel an, aber das entspricht ca. 20 % des unkorrigierten Wertes. Das ist aber eigentlich ziemlich gut, denn eine „Erklaerungskraft“ von 20 % mit einer solch einfachen Erklaerung ist im Allgemeinen nicht zu erwarten. Das miss inbesondere mit Hinblick auf die Einfachheit des Modells gesehen werden und dass wir wissen, dass die Entwicklungsparameter eigentlich NICHT konstant sind, dadurch ein groszer „Fehlerbeitrag“ von Anfang an zu erwarten ist.

Dies alles ist uebrigens warum ich beim letzten Mal schrieb:

[d]as waere sogar eine Korrektur mit „langfristiger“ Wirkung.

Aber was ist nun mit den restlichen 80 % Diskrepanz? Eine weitere relativ simple Korrektur ist der Grund warum ich (auch) beim letzten Mal sagte:

Der ziemlich grosze Unterschied […] zwischen Median und Mittelwert wird beim naechsten Beitrag nochmal wichtig.

Ich merke nun, dass ich damit stark uebertrieb, denn ich werde das hier nicht im Detail erlaeutern. Aber kurz gesagt wuerde ich vermuten, dass der Gebrauch des Medians anstelle des Mittelwerts zur Ermittlung der Entwicklungsparameter, zu (in der Summe) weniger Selbstreferenzen im jeweils naechsten Schritt fuehren wuerde. Eine solche Korrektur wird vermutlich einen weiteren nicht zu vernachlaessigenden Beitrag leisten. Mein Bauchgefuehl sagt mir so nochmal 20 %
Noch besser waere natuerlich, wenn man eine Verteilung um den Mittelwert (oder Median) nehmen wuerde. Beide Sachen sind leicht einzusehen, aber ich habe keine Lust mehr das alles nochmal zu machen.

Aber selbst damit wuerde ich nur ca. 50 % der Diskrepanz erklaeren kønnen. Der Rest ist halt so und liegt (wieder) an der Einfachheit des Modells und dass die Entwicklungsparameter in Wirklichkeit nicht konstant sind.

Puuh … genug fuer heute und im Wesentlichen genug zur Simulation an sich. Ich denke, dass die Selbige hinreichend erfolgreich war … hab ja auch genuegend Zeit damit verbracht.
Beim naechsten Mal werde ich die Simulation zwar nochmal kurz erwaehnen aber nur als Ueberleitung um mir mal anzuschauen wie es aussieht, wenn ausgestiegene Seiten nochmal „zurueck kommen“.

Mit Blick auf den Titel des letzten Beitrags ist dieser hier ein bisschen witzig, denn in diesem Buch geht es unter anderem auch darum, dass die Ketten der Menschheit (in vielfacher Hinsicht) gesprengt werden.

Wiedereinmal gilt, dass ich so ziemlich alles was in dem Buch passiert vergessen hatte und mich im Wesentlichen nur noch an das Gefuehl erinnerte, dass es ein groszartiges Lesevergnuegen war.
Von der Geschichte an sich hatte ich nur noch zwei „Fetzen“ in meinem Kopf: dass der Protagonist im Weltraum gestrandet war und dass Menschen teleportieren kønnen. Das war natuerlich irgendwie gut, denn dadurch war das Noachmaldurchlesen fast wie ein Zumerstenmallesen.

Das Buch wird zu den wichtigsten und einflussreichsten Science Fiction Buechern gezaehlt. Und nun kann ich nicht anders und muss sagen, dass die Lobpreisungen zu Recht erfolgen. Dieses Buch nahm in den 50’er Jahren ein paar wichtige und bestimmende Elemente der Science Fiction vorweg, deren Kapazitaeten erst Jahrzehnte spaeter entdeckt und voll entwickelt wurden. Am sichtbarsten sind dabei Dinge die heutzutage vor allem mit Cyberpunk in Verbindung gebracht werden.
Zwei andere Sachen sind die Erzaehl- und Entwicklungsstruktur der Geschichte und Charaktere. Fuer den modernen Leser scheint das alles mittlerweile „etwas altmodisch“, eben weil diese Herangehensweise an das Erzaehlen von Zukunftsgeschichten (im weitesten Sinne)  in moderner Science Fiction Literatur oft gebraucht wird. Aber vor bald 70 Jahren war dem mitnichten so und dieses Buch stand am Anfang einer allgemein (und nicht nur im Speziellen) intelligenteren Art von Science Fiction.

Ansonsten hatte ich es beim ersten Mal innerhalb von zwei Tagen durchgelesen und es fesselte mich auch beim zweiten Mal und ich war auch jetzt wieder nach ein paar wenigen Tagen fertig.

Der dtsch. Titel dieses Buches ist uebrigens bekloppt:

Andererseits wurde es frueher sowohl im Englischen als auch in dtsch. Auflagen unter dem Titel „Tiger! Tiger!“ publiziert. Das ist nicht weniger bekloppt.

Definitiv eine Leseempfehlung, aber mit dem „Haftungsausschluss“, dass man es beim Lesen geschichtlich einordnen sollte (siehe oben), wenn man die Grøsze dieses Buches zumindest „aus dem Augenwinkel“ miterleben will.

Ach ja, einer der wichtigeren Nebencharaktere meiner Lieblings-Sci-Fi-TV-Serie ist nach dem Autor benannt. Das war einer der Hauptgruende, warum ich ueberhaupt erst auf das Buch aufmerksam wurde.

Bei der Simulation hat man gesehen, dass diese systematisch zu zu hohen Werte fuehrt. Zum Einen lag das daran, dass die Parameter besagter Entwicklung konstant gehalten wurden. Die Entwicklungsparameter wiederum entsprechen der Regressionsgeraden und diese ist im Wesentlichen der Mittelwert zu einer gegebenen Anzahl an Selbstreferenzen. Das ist nicht falsch und funktioniert, wie beim letzten Mal diskutiert, im Mittel gar nicht so schlecht. Aber dieser Mittelwert entsteht aus einem „Blob“ an Datenpunkten.
Oder anders an einem Beispiel: in der Simulation wird fuer jede Seite die auf LL₄ zehn Selbstzitierungen hat berechnet, dass diese den Schritt zu LL₅ macht und dort dann oben erwaehnten Mittelwert an Selbstzitierungen annimmt. Hier treffen also zwei Dinge zusammen: jede einzelne Seite macht zwingend (!) den Schritt zum naechsten Linklevel und jede Seite hat dort die gleiche Anzahl an Selbstzitaten.

In Wahrheit sieht die Verteilung der Selbstzitate auf LL₅ fuer alle Seiten die auf LL₄ zehn Selbstreferenzen hat aber so aus:

(Korrektur 2025-04-22: Die Abszisse muss „Anzahl Selbstreferenzen“ anstatt „Linklevel“ als Beschriftung haben!)

Das ist also eine Verteilung um den Mittelwert (aber keine Normalverteilung). Der (nicht aus den gewaehlten Entwicklungsparametern sondern hier genau berechnete) Mittelwert fuer 10 Selbstreferenzen auf LL₄ fuehrt zu einem Wert von ca. 3 Selbstreferenzen auf LL₅ und „ueberhøht“ somit das „mittlere Verhalten“ einer Seite. Letzteres deswegen weil, wie man am obigen Diagramm sieht, dass die Haelfte dieser Seiten zwei oder weniger Selbstreferenzen auf LL₅ haben. Der ziemlich grosze Unterschied (hier 50 %!) zwischen Median und Mittelwert wird beim naechsten Beitrag nochmal wichtig.
Eigentllich muesste man diese Verteilung in die Simulation einbauen. Aber dafuer muesste man fuer jedes Linklevel und fuer jede Anzahl an Selbstreferenzen diese Verteilung ermitteln, analysieren und dann modellieren fuer die Simulation. Ersteres ist an sich gar nicht so schwer, denn das kann automatisiert werden. Zweiteres ginge prinzipiell auch noch. Die Betonung liegt auf „prinzipiell“, denn dabei handelt es sich sicherlich um Tausende von Verteilungen. Desweiteren nehme ich an, dass die aus der Analyse herausfallenden Parameter signifikant streuen. Womit man wieder in der gleichen Situation wie bei der Bestimmung der letztlich benutzten Entwicklungsparamter ist und dann mglw. doch wieder nur alles (unzureichend?) vereinfachen muesste. Deswegen spare ich mir das lieber gleich.

Eine andere Sache die bereits erwaehnt wurde ist aber viel einfacher zu korrigieren: Seiten deren Kette an Selbstreferenzen gebrochen ist, die also null Selbstreferenzen auf dem naechsten Linklevel haben, kønnen „rausfliegen“. Das waere sogar eine Korrektur mit „langfristiger“ Wirkung. Nicht nur tragen solche „ausgestiegenen“ Seiten faelschlicherweise zum Signal auf dem naechsten Linklevel bei, sondern auch bei den Linkleveln die danach kommen. Wie man am obigen Diagramm sieht, kann es sich mitunter um eine signifikante Menge an „Aussteigern“ handeln und deren Bezug auf eine sich erhøhende Diskrepanz zwischen gemessenen und simulierten Werten ist leicht einzusehen.

Deswegen habe ich hier im linken Diagramm mal aufgetragen, wie viele Seiten pro Linklevel aussteigen:

Das sind ja insbesondere auf den ersten Linkleveln ganz schøn viele! Selbst unter dem Aspekt, dass es mich bis LL₃ nicht kuemmert, denn die bis dahin ausgestiegenen Seiten wurden in der Praeparierung des Ausgangszustands beruecksichtigt.
Nun ist aber die Anzahl der aussteigenden Seiten nicht nur vom Linklevel sondern auch von der Anzahl der Selbstreferenzen auf diesem Linklevel abhaengig. Dieser Sachverhalt ist an drei Beispielen im rechten Diagramm gezeigt. Wie zu erwarten war, steigen (deutlich) mehr Seiten mit wenigen Selbstreferenzen auf einem gegebenen Linklevel auf, als solche mit vielen Selbstreferenzen. Aber wenn man diese Information pro Linklevel hat, dann kann man sich an eine Korrektur machen.
Dazu komme ich aber erst beim naechsten Mal.

Ach so, eine letzte Sache noch. Bei diesen Grafen kann (und soll) Doppelzaehlung auftreten.
Ein Beispiel: Wenn fuer eine Seite die Kette von Selbstreferenzen auf LL₃ abbricht, so steigt diese auf LL₃ aus. Man nehme nun an, dass auf LL₅ und LL₆ (aber nicht danach) jeweils eine weitere Selbstreferenz auftritt. Dann hat man eine neue Kette, die auch wieder abbricht. Somit steigt diese Seite zwei Mal aus und wird entsprechend doppelt gezaehlt.
Aber ich nehme an, dass diese Mehrfachaussteiger insgesamt nicht sehr zahlreich sind und deshalb nicht all zu sehr ins Gewicht fallen werden. Der Grund liegt darin, dass man sich thematisch immer schneller von der Ursprungsseite entfernt und es sehr schnell unwahrscheindlich wird eine Selbstreferenz zu erhalten (und somit neue Ketten aufzubauen).
Mit einer Ausnahme: sehr fruehe Linklevel und wenn es sich nur im eine (reaktivierte) Selbstreferenz handelt. Aber diese sind bei der Korrektur der Simulation nicht all zu sehr von Interesse, denn zum Einen ist der Ausgangszustand fuer die Simulation erst bei LL₃ und dass die Simulation ein Problem mit zu vielen einfachen Selbstreferenzen hat ist bekannt und an entsprechender Stelle bereits diskutiert worden.

Zum letzten Mal wollte ich noch kurz zwei Dinge anfuehren. Zum Einen, dass das unkorrigierte kumulative Risiko angibt, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ich Krebs in irgendeiner (!) Altersgruppe bis zur gegebenen bekomme unter der (kuriosen) Lage, dass man hierbei davon ausgeht, dass man in KEINER der vorhergehenden Altersgruppen mit Krebs diagnostiziert werden kann, denn dann haette man es ja gar nicht bis dahin geschafft. Wie gesagt ist das sinnvoll, wenn man nur die altersgruppenspezifische kumulative Rate angibt (die Wahrscheinlichkeiten also nicht aufaddiert). Das korrigierte kumulative Risiko umgeht das, indem dort „erlaubt“ wird, dass man auch in vorhergehenden Altersgruppen Krebs bekommen kann. Ich hatte das trotzdem alles aufgeschrieben, weil der Unterschied zwischen diesen beiden Grøszen erst bei alten Altersgruppen relevant wird, das unkorrigierte kumulative Risiko aber etwas leichter zu verstehen ist.
Zum Zweiten werden auch beim korrigierten kumulativen Risiko keine anderen Todesarten in Betracht gezogen! Auch wenn ich beim letzten Mal oft „ueberleben (bis zur gegebenen Altersgruppe)“ schreibe, so ist damit nur gemeint, dass man keinen Krebs bekommt. Das tut aber nix zur Sache, denn andere Todesursachen veraendern Zaehler und Nenner fuer die Crude Rate proportional. Dies selbst dann wenn ein Mensch mit einer anderen Todesursache spaeter im Leben Krebs bekommen haette. Der Grund liegt darin, weil Letzteres nur mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit passiert und man viele Menschen mit eine andere Todesursache haben muss, bevor einer dabei ist, der Krebs bekommen haette. Der Zaehler wird dann also bswp. um einen kleiner, aber der Nenner um bspw. 500.

Aber eigentlich wollte ich heute ueber etwas anderes schreiben, naemlich wie ich auf die Zahlen fuer die Altersgruppen 74-79, 80-84 und 85+ komme. Diese sind in der Tabelle naemlich gar nicht abrufbar, weil das grøszte untere Alterslimit 70 Jahre betraegt. Ich bekomme also nur die zusammengefassten (!) Daten fuer alle Maenner zwischen 70-79 Jahren, 70-84 Jahren und 70-85+ Jahren.
Lange Rede kurzer Sinn: ich habe alle Zahlen ganz einfach ausgerechnet und den Prozess erklaere ich heute … damit man mir da kein schummeln unterstellen kann.

Zur Berechnung der Crude Rate braucht man die Anzahl der Krebsfaelle und die Anzahl der Personen in einer Altersgruppe.
Die altersgruppenspezifischen Krebsfaelle sind easypeasy, indem man schrittweise rueckwaerts rechnet. Aus der Tabelle bekommt man die Anzahl der Krebsfaelle fuer Altersintervall 70-85+ und fuer Altersintervall 70-84. Zieht man Letzteres von Ersterem ab, so hat man die Zahlen fuer die Altersgruppe 85+. Mit entsprechend modifizierten Altersgrenzen bekommt man die Anzahl der Krebsfaelle fuer die anderen beiden Altersgruppen.

Fuer die Anzahl der Personen in den Altersgruppen muss man etwas mehr machen, aber letztlich ist’s nur ein schrittweises vorwaerts rechnen.
Die Crude Rate fuer die Altersgruppe 70-74 ist noch angegeben und damit kann ich dann die Anzahl der Maenner in besagter Altersgruppe ausrechnen.
Die Anzahl der Maenner in Altersgruppe 74-79 ergibt sich, wenn man diese einfache Formel umstellt:

Der Wert fuer die linke Seite der Gleichung findet sich in der Tabelle; dito bzgl. des Zaehlers und den ersten Summanden haben wir ja im vorhergehenden Schritt ausgerechnet.
Fuer die nachfolgenden Altersgruppen erweitert man die entsprechenden Altersintervalle fuer die Crude Rate und die Anzahl der Krebsfaelle. Auszerdem muss man natuerlich weitere Summanden in den Zaehler packen, welche die (schrittweise ausgerechneten) Anzahl der Maenner der  vorherhgehenden Altersgruppen repraesentieren.

Wenn alle Zahlen bekannt sind, kann die altersgruppenspezifische Crude Rate (und alles andere) ausgerechnet werden.

Nachdem nun der Ausgangszustand praepariert ist und ich weisz wie die Entwicklung des Systems vonstatten geht, kann ich mir nun jede simulierte Seite aus Ersterem hernehmen und mit dem Wissen von Letzterem die Anzahl der Selbstreferenzen pro Linklevel berechnen. Daraus sollte mindestens qualitiativ dann wieder das herauskommen was auch gemessen wurde.

Zunaechst ein paar repraesentative Verteilungen der Selbstreferenzen, denn diese sind das direkte Resultat der Simulation:

Die Daten sind fuer jedes beispielhafte Linklevel farbkodiert, wobei die schwachfarbigen Punkte die Messungen sind und die starkfarbigen Punkte die Simulation.
Die Datenpunkte fuer jedes beispielhafte Linklevel sind gegeneinander verschoben damit man besser sieht was vor sich geht.

Man sieht, dass die Simulation zunaechst ganz gut passt. Hier beispielhaft an den Daten fuer LL₅ gezeigt. Das ist nicht verwunderlich, wurden die Parameter der Entwicklung doch vor allem mit Hinblick auf die ersten paar Linklevel gewaehlt.
Ziemlich schnell kommt es aber zu Diskrepanzen, die mit fortlaufender Entwicklung grøszer werden. Letzteres macht sich dadurch bemerkbar, dass sich die simulierten Punkte immer weiter von den gemessenen Punkten entfernen. Auch dies ist nicht verwunderlich, denn die realen Entwicklungsparameter werden schnell kleiner, waehrend ich sie fuer diese Simulation konstant (und auf (relativ) hohen Werten) halte.

Desweiteren faellt auf, dass der „Schwanz“ der simulierten Verteilungen „abgeschnitten“ ist. Das kommt natuerlich weil ich schon im Ausgangszustand den Sehr-viele-Selbstzitierungen-Schwanz weglasse; da kann der nicht fuer høhere Linklevel pløtzlich auftreten.

Eine weitere Sache ist der Wert fuer die Anzahl der Seiten (pro Linklevel) die nur eine Selbstzitierung aufweisen. Dieser ist eigentlich fast immer zu hoch, bei spaeteren Schritten VIEL zu hoch. Das liegt zum Einen wieder daran, weil die Entwicklungsparameter konstant bleiben; da hat dann auch eine Seite mit nur einer Selbstzitierung auf dem naechsten Level in ueber 70 Prozent der Faelle wieder eine Selbstzitierung. Der zweite Grund haengt indirekt damit zusammen, denn ich erlaube keine „(mehr oder weniger) spontanen Aussteiger“. Also Seiten deren Kette von Selbstzitierungen abbricht (egal ob es nun 23 oder nur eine waren). Die gibt es in Wirklichkeit aber und die tragen dann natuerlich nicht weiter zum gemessenen Signal bei.

Zum Abschluss ist zu sagen, dass die simulieten Daten mehr oder weniger nur bis LL₁₂ sinnvoll sind. Danach habe ich im wesentlich nur noch einen oder zwei Datenpunkte. Auch das ist nicht verwunderlich, folgt dies doch aus dem oben Gesagten und selbst bei den gemessenen Daten sind die dort noch vorhandenen Punkte wahrscheinlich alles eher Ausnahmen, als die Regel.

Trotz Allem ist es aber wichtig zu sehen, dass dieses sehr einfache Model qualitativ gar nicht so falsch ist. Zum Einen werden die Diskrepanzen zwischen simuliertem und gemessenem Singal nicht unendlich grosz. Eine Grøszenordnung (spaeter etwas mehr) ist zwar nicht zu unterschaetzen aber liegt innerhalb dessen was ich erwarten wuerde bei einem so einfach gehaltenen Modell.

Schaut man sich nun die (vor mehreren Monaten zum ersten Mal vorgestellte) totale Anzahl an Selbstzitierungen per (relevantem) Linklevel an …

… dann sieht man beim Vergleich der schwarzen und roten Punkte, dass das auch hier Anfangs wieder ganz gut hinhaut und dann aber schnell eine grosze Diskrepanz und ganz anderes Verhalten (der Graf „biegt“ sich falsch) entsteht.
Nun erwaehnte ich aber weiter oben, dass ich zu viele Seiten mit einer Selbstreferenz habe. Wenn man diese ab LL₆ (vorher zeichnet sich dieser Sachverhalt nicht als Problem ab) komplett weglasse, dann erhaelt man die blauen Punkte. Na aber Hallo! Das sieht doch viel besser aus. Die Luecke zwischen Simulation und Messung reduziert sich deutlich und nun zeigt auch die Simulation ein lineares Verhalten (bei doppellogarithmischer Darstellung). Die Luecke schlieszt sich nicht komplett und ein Unterschied von bis zu ca. einer Grøszenordnung bleibt erhalten. Letzteres war zu erwarten, wenn man das oben Besprochene bedenkt.
Alles in allem wuerde ich das aber als einen ziemlichen Erfolg der Simulation ansehen.

Ich kønnte an der Stelle aufhøren. Das waere aber unehrlich, denn eine weitere (ganz fantastische) Beobachtung waren die Regressionsparamter der individuellen Verteilungen der Selbstreferenzen pro Linklevel. Der Vergleich von Messung und Simulation dieser Grøszen sieht so aus:

ACHTUNG: man beachte die unterschiedlichen Skalen fuer simulierte bzw. gemessene Werte!

Man sieht, dass das generelle Verhalten qualitativ reproduziert wird; die Werte sowohl des Anstiegs als auch des absoluten Glieds nehmen ab. Hurra! Ein weiterer Erfolg fuer mein einfaches Modell.
Wenn man genauer hinschaut (deswegen der Hinweis mit den unterschiedlichen Skalen) sieht man, dass bis ungefaehr LL₆ die Werte fuer diese beiden Grøszen noch ganz gut uebereinstimmen. Danach wird der simulierte Anstieg allerdings VIEL zu schnell steiler und das absolute Glied nimmt viel zu langsam ab.
Dies liegt zum Einen wieder an dem oben Gesagten. Zum Zweiten liegt es daran, dass ich bei der Bestimmung der Regressionsparamter der Simulation die Daten nicht fuer die Regression „optimiert“ habe (siehe mein Kommentar diesbezueglich im zitierten Beitrag). Fuer LL₁₀ habe ich das mal gemacht; also „unpassende“ Punkte am Anfang und am Ende der Daten weggelassen. Das Ergebniss ist der blaue Punkt in den beiden Diagrammen und der bewegt sich nicht nur in die richtige Richtung, sondern ist auch signifikant anders als wenn man diese „Korrektur“ nicht vornimmt.

Letztlich ist zu sagen, dass das Modell die Daten qualitativ gut genug beschreibt. Quantitativ allerdings gibt es Diskrepanzen von bis zu einer Grøszenordnung. Wenn man bedenkt, dass das Modell sehr einfach gehalten ist, so ist das immer noch beeindruckend. Es zeigt aber auch, dass fuer eine bessere Beschreibung weitere Effekte zu beruecksichtigen sind. Das werde ich nicht machetun … mit einer Ausnahme: ich schau mir beim naechsten Mal an, wie das Abbrechen von Linkketten pro Linklevel aussieht (oben erwaehnte „Aussteiger“). Ich habe aber nicht vor das ins Modell einzuarbeiten, denn ich bin mit den Ergebnissen zufrieden genug und habe genug Zeit damit verbracht und ehrlich gesagt auch keine Lust mehr drauf.

Hier nochmal der Direktlink zur Tabelle mit den Daten.

Beim letzten Mal sagte ich, dass …

[…] mein jaehrliches Risiko […] ueberhaupt irgend einen Krebs zu bekommen […] nur 0.138 % [betraegt] […]

Wie kommt es dann aber, dass das Gesamtrisiko im Leben Krebs zu bekommen bei 50 % (und darueber) liegt? Dies ist nicht ganz einfach zu erklaeren unddeswegen der Reihe nach.

Alle Zahlen der Tabelle gehen davon aus, dass man nur ein Mal im Leben Krebs bekommt. Das ist nicht ganz richtig (und der Grund fuer komplizierte Korrekturen die ich hier erwaehnte) aber in Naeherung ist das gut genug.
Das unkorrigierte kumulative Risiko geht im Prinzip davon aus, dass es keinen „Verlust“ von Altersgruppe zu Altersgruppe gibt. Das bedeutet im Grunde, dass die Chance in der gegebenen Altersgruppe Krebs zu bekommen unabhaengig davon ist, in einer anderen (vorherigen) Altersgruppe Krebs zu bekommen. Oder anders: diese beiden Ereignisse sind inkompatibel (denn ansonsten haette ein Individuum es ja gar nicht bis zu der gegebenen Altersgruppe geschafft). Bei inkompatiblen Ereignissen greift das dritte Axiom von Kolmogorow und ich muss einfach nur die Summe aller (altersgruppenspezifischen) Einzelwahrscheinlichkeiten bis zur gegebenen Altersgruppe bilden, um das (unkorrigierte) kumulative Risiko zu erhalten.
Weil es so wichtig ist noch mal: bei dieser Rechnung gehe ich von meiner konkreten Situation aus. Ich nehme also an, dass es bis ins 43. Lebensjahr gekommen bin, OHNE dass Krebs diagnostiziert wurde.
Fuer norwegische Maenner und alle Krebsdiagnosen zusammen drueckt sich das eben Geschriebene in der lila Kurve in diesem Diagramm aus:

Sehr gut: alle Wahrschienlichkeiten zusammen ergeben weniger als 100 % (so wie es sein muss … denn das Universum wuerde verpuffen, wenn die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ueber 100 % liegt). Es ist auch gut, dass ich am Ende 100 % erreiche, denn wenn ich an nix anderem sterbe, dann bleibt ja nur noch Krebs als Todesursache uebrig.

Die Situation fuer einen frischgeschluepften Mensch muss aber anders angegangen werden. Es gilt auch fuer diesen neuen Menschen, dass man nur ein Mal Krebs bekommt. Nun muss man im Hinterkopf haben, dass die Statistiken NUR ueber Personen gehen, die ueberhaupt Krebs bekommen kønnen (im Wesentlichen ist das im Konzept der „person-years at risk“ enthalten). Das bedeutet, wenn ein Mensch in einer Altersgruppe Krebs bekommt, dann faellt dieser aus der Statistik fuer die darauffolgenden Altersgruppen raus. Der Grund liegt darin, dass die zugehørigen „person-years at risk“ Null werden, sobald Krebs diagnostiziert wurde. Das bedeutet nicht, dass man stirbt, sondern nur, dass man nicht mehr zu den gefaehrdeten Personen gehørt. Das Konzept kann man sich leichter klar machen, wenn man sich Grippe anstatt Krebs denkt. Wenn man mit der Grippe durch ist, ist man immun, kann nicht mehr angesteckt werden und ist damit keinem Risiko mehr ausgesetzt.

Oder anders: die Wahrscheinlichkeit in einer gegebenen Altersgruppe Krebs zu bekommen ist _abhaengig_ (!) davon ob ich zur gefaehrdeten Personengruppe gehøre. Letzteres ist abhaengig (!) davon, ob ich bis hierhin „ueberlebt“ (also keinen Krebs bekommen) habe.
Ein Krebs-„Ereigniss“ in einer gegebenen Altersgruppe ist also abhaengig (!) davon, dass besagtes „Ereigniss“ nicht in einer vorhergehenden Altersgruppe auftrat.

Die Wahrscheinlichkeit eine gegebene Altersgruppe zu „ueberleben“ ist ganz einfach 100 % minus die Wahrscheinlichkeit, dass man Krebs bekommt. Das folgt aus dem zweiten Axiom von Kolmogorow: die Wahrscheinlichkeit fuer das sichere Ereigniss ist 100 % und das sichere Ereigniss ist in diesem Fall, dass ich Krebs bekomme oder nicht (also beide einzelnen Ereignisse zusammen genommen).
Weil es sich nun um voneinander abhaengige Ereignisse handelt, muss man die altergruppenspezifischen Ueberlebenswahrscheinlichkeiten miteinander multiplizieren, um heraus zu bekommen, ob man bis zu einer gegebenen Altersgruppe ueberlebt. Das korrigierte kumulative Risiko ist dann wieder nur 100 % minus die Ueberlebenswahrscheinlichkeit.

Diese Multiplikation der einzelnen Ueberlebens(!)wahrscheinlichkeiten (anstatt der Addition der einzelnen Krebs(!)wahrscheinlichkeiten wie im ersten Fall) ist mathematisch aequivalent zur „exponentiellen Abnahme der Anzahl der Menschen“ (die fuer die Statistik ueberhaupt in Betracht gezogen werden kønnen).

In der blauen Kurve im obigen Diagramm kommt also zum Ausdruck, dass man es eben gerade NICHT ohne Krebsdiagnose bis zur naechsten Altersgruppe geschafft hat, waehrend bei der lila Kurve davon ausgegangen wird (!), dass man von Datenpunkt zu Datenpunkt zu den „Ueberlebenden“ gehørt.

Ich weisz, ich weisz, statistische Aussagen (und wann welche Betrachtungsweise gewaehlt werden muss) kønnen knifflig sein. Aber ich wollte hier erklaert haben, warum ich weniger an der blauen, korrigierten Kurve und vielmehr an den Zahlen die zur lila,unkorrigierten Kurve fuehren, interessiert bin — das liegt an meiner Situation … … … und das soll nun wirklich genug sein fuer heute.

Spam Spam Spam Spam Spam […]

Hab ich mich gefreut, als ich das Original …

… in einem Laden in England entdeckte. Natuerlich kaufte ich gleich eine Dose … um zu meiner Ueberraschung (und Enttaeuschung) festzustellen, dass es sich dabei nur um eine Art von Jagdwurst handelt.
In Scheiben geschnitten, in der Pfanne gebrutzelt und auf auf ’ne schøne Scheibe Brot gepackt ist’s durchaus ’n OK’es Mahl.

Zur Erinnerung: hier zog ich als Analogon zu den Selbstreferenzen die Geschwindigkeitsverteilung von Gasteilchen in einer heiszen Box heran … und diskutierte dort inwieweit das zulaessig bzw. auch vøllig unzulaessig ist. Dieses Analogon werde ich auch heute benutzen.

Bei einer Simulation bzgl. der Entwicklung eines Systems braucht man zunaechst einen Anfangszustand. Der Anfangszustand bzgl. der Selbstreferenzen ist natuerlich LL₀ … aber da gibt es keine Selbstreferenzen (von Artefakten abgesehen) und das entspricht einem klassischen (definitiv nicht quantenmechanischem!) Gas mit einer absoluten Temperatur von 0 K. Null Kelvin ist schwerlich als heisz zu bezeichnen … tihihi.

Wie sieht’s denn mit LL₁ als Ausgangszustand aus? Das ist zwar besser, aber wir wissen, dass es sich bei der Verteilung auch um eine Ausnahme handelt, ist diese doch selbst mit Augen zudruecken nicht linear (bei doppellogarithmischer Darstellung). Im Analogon kønnte man sich vorstellen, dass bei LL₁ die Heizplatte noch angestellt ist und definitiv noch kein Equilibrium im Gas erreicht wurde. Gleichgewicht mit dem „Aeuszeren“ sowieso nicht, denn das ist ja der Entwickluingsprozess (am Gasbild: das Abkuehlen) den ich simulieren will.

Dann also LL₂ … jup … das geht gut genug linear, im Bild des heiszen Gases ist die Heizplatte also ausgeschaltet. Aber … mhmmmm … da ist ein kleiner Knick in der Kurve … ach dann beschreibe ich das abschnittsweise linear, eine Funktion fuer Werte zwischen 2 und 20 und eine andere fuer alles darueber … da kønnte man sich denken, dass die Heizplatte noch ein ganz klein bisschen Restwaerme hatte und der Knick durch die paar wenigen Gasteilchen zustande kommt die sich nochmal schnell „aufgewaermt“ (also Energie erhalten) haben und die daraus resultierende høhere Geschwindigkeit noch nicht durch Støsze mit den restlichen Teilchen abgegeben haben. Aber wie gesagt ist der Vergleich von Gasteilchengeschwindigkeiten und Selbstreferenzen physikalisch (und mathematisch) gesehen vølliger Quatsch. Aber ein Analogon dient ja zur Illustration eines weniger leicht fassbaren Sachverhalts mit einer bekannten Sache. Und all das hier schreibe ich um zu illustrieren, dass es auch in anderen Systemen Sachen gibt die nicht in das ideale Bild passen, man dafuer aber immer Gruende finden kann.

Wenn man das so mit den Regressionsgeraden macht, dann liegen mir die Werte fuer keine und eine Selbstreferenz(en) etwas weit abseits der ersten Geraden. Da nehme ich dann lieber die experimentell ermittelten Werte bzgl. dessen wie wahrscheinlich das ist, keine oder eine Selbstreferenz(en) zu haben. Zum Zweiten sind die Verteilungen auf LL₂ und LL₃ ja beinahe deckungsgleich. Deswegen wird LL₃ fuer die Simulation der Entwicklung des Systems als Ausgangszustand angesehen.

Wieauchimmer, wenn man das alles so macht und dann die Anzahl der Selbstreferenzen 6 Millionen mal simuliert (jedes „Gasteilchen“ muss separat simuliert werden),  dann ist der simulierte Ausgangszustand eine (fuer die hiesigen Zwecke) hinreichend gute Naeherung. Dies und (fast) alles was ich Oben schrieb ist in diesem Diagramm nochmals zu sehen:

Eine Sache faellt auf: der lange „Schwanz“ der blauen Verteilung wird nicht durch die (zweite oder erste) Regressionslinie beschrieben. Das kann man fixen, ich habe das aber der Einfachheit halber nicht gemacht. Deswegen der „Abbruch“ in den roten Punkten bei 3000 Selbstreferenzen … mal schauen, wie sich das im weiteren Verhaelt.

So, das war’s … … … aber ich møchte an dieser Stelle ein bisschen darauf eingehen, wie ich von der gemessenen Verteilung der Selbstreferenzen auf LL₁ zur Simulation derselbigen komme (abgesehen von dem bereits Gesagten).

Zunaechst einemal gilt natuerlich, dass diese Verteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist … wenn man diese durch die Anzahl aller Seiten dividiert. Beim IQ ist das mit einer Normalverteilung leichter vorstellbar (Letzteres gilt auch fuer die Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Geschwindigkeit von Gasteilchen). Aber die zugrundeliegende Mathematik ist die gleiche: wenn ich zufaellig eine Seite (Teilchen) aus dem Ensemble heraus nehme, so hat diese(s) eine bestimmte Wahrscheinlichkeit eine bestimmte Menge an Selbstreferenzen (Geschwindigkeit) zu haben. Die mathematische Funktion p in Abhaengigkeit von der Anzahl der Selbstreferenzen x der hiesigen Wahrscheinlichkeitsverteilung sieht so aus:

Wie oben geschrieben: explizit definierte Wahrschienlichkeiten fuer keine und eine Selbstreferenz(en) und zwei (bei doppellogarithmischer Darstellung lineare) Funktionen darueber hinaus.

Soweit ist das noch ganz einfach. Nun kommt aber der Haken an der Sache. Fuer eine zu simulierende Seite muss ich die Anzahl der Selbstreferenzen, also das x (!), berechen, habe aber nur p(x). Letzteres ist im Einzelfall nur sinnvoll wenn man x schon hat, aber die Gesamtheit aller Einzelfaelle muss p(x) ergeben. Aber wenn ich die erste Seite simuliere dann weisz ich ja noch nicht, wieviele Selbstreferenzen alle anderen Seiten haben.
Ich gebe zu, dass ich beschaemend lange brauchte um auf die Løsung zu kommen, aber letztlich ist’s ganz einfach. Doch dafuer muss ich ein bisschen ausholen.

Wenn ich eine Seite simuliere (und ich mache das 6 Millionen mal), dann ziehe ich eine zufaellige Zahl zwischen Null und Eins. Die Abschnitte auf dieser Zahlengerade von Null bis Eins entsprechen dann der Summe der Wahrscheinlichkeiten bis zu einer gegebener Anzahl an Selbstreferenzen. Also 0 bis 0.4561 wird null Selbstreferenzen zugeordnet, 0.4561 bis 0.6458 (= 0.4561 + 0.1897) einer Selbstreferenz und danch muss das entsprechend berechnet werden und die Abschnitte werden sehr schnell sehr klein.
Mathematisch ausgedrueckt entspricht diese zufaellige Zahl dem bestimmten (!) Integral unter obiger Kurve von Null bis zu einer gegebenen Anzahl an Selbstreferenzen. Anders als sonst ueblich bin ich also nicht an dem Wert des Integrals interessiert (denn das ist der Wert aus der zufaelligen Ziehung und somit bekannt), sondern am oberen Limit.
Fuer null und eins kann man sich einfach den Zufallswert anschauen und das sofort rausbekommen. Fuer alle anderen muss das berechnet werden und dabei ist zu beachten dass das Integral dann natuerlich erst bei der richtigen unteren Grenze (also 1 oder 20) los geht (um die vorhergehende Bemerkung einzubeziehen).
Ist das schøn, dass wir es so oft mit maechtigen Gesetzen zu tun haben! *froi*. Da ist das Integral einfach zu berechnen und leicht nach x umzustellen und somit kann jedem gezogenen Zufallswert eine Selbstreferenz zugeordnet werden.

Dabei sind zwei Sachen zu beachten. Zum ersten muss der Zufallswert korrigiert werden. Der Grund liegt in dem was ich oben schrieb: dieser Wert ist die SUMME aller Wahrscheinlichkeiten (bis zu der dem Zufallswert zuzuordnenden Anzahl an Selbstreferenzen). Das (bestimmte) Integral geht aber erst bei den gegebenen Grenzen los, faengt also bei Null zu „zaehlen“ an. Das ist aber ganz einfach, denn vom besagten Zufallswert muss nur die Summe der Wahrscheinlichkeiten bis zu dem Wert ab der die jeweilige Funktion gueltig ist (also bis 1 bzw. bis 20) abgezogen werden.
Zum Zweiten kommen da natuerlich krumme Zahlen raus und die muessen auf die naechste ganze Zahl gerundet werden. Werte die kleiner als 1.5 sind werden zu eins abgerundet. Das ist aber doof, denn Seiten die nur eine Selbstreferenz haben sind ja durch die Fallunterscheidung alle schon erledigt. Der Einfachheit halber habe ich solche simulierten Seiten dann nur rausgeschmissen. Dadurch fehlen ca. eine halbe Million Seiten … das kann man sicherlich fixen, ich hatte aber keine Lust mehr und schmeisz das einfach in den beruehmten „ca.-10-Prozen-Fehler“.

Mit dem letzten und diesem Mal kommen da ein paar krasse Vereinfachungen zusammen. Beim naechsten Mal zeige ich, wie weit man damit dennoch kommt.

Es geht weiterhin um die Daten in der bekannten Tabelle. In den letzten drei Artikeln habe ich mit den folgenden Begriffen „um mich geworfen“ und erklaert was diese bedeuten: Crude Rate, altersspezifische Rate, kumulative Rate und kumulatives Risiko. Zum grøszten Teil kønnen die zugehørigen Zahlen direkt aus der Tabelle abgelesen werden. Dort ist dies aber jeweils immer nur fuer gegebene Altersintervalle møglich und man sieht nur die Zahlen. Desweiteren sind die Zahlen dort eher fuer ganzheitliche Aspekte (bspw. gesundheitspolitische) „aufbereitet“. Ich persønliche will besagte Zahlen aber unter einem anderen Blickwinkel sehen — dem des maennlichen, in Norwegen wohnenden Individuums im 43 Lebensjahr, welches versucht eine „Gefahr“ abzuschaetzen. Ohne weitere Vorrede, zeige ich deswegen heute ein Diagramm in dem alle relevanten Grøszen vorkommen und bespreche das, damit die vorangegangene Theorie etwas handfester wird:

Alle Datenpunkte beinhalten ALLE Krebsfaelle und sind altergruppenspezifisch. Ersteres bedeutet, dass fuer diese Daten nur die Diagnose „Krebs“ wichtig war, nicht aber welche spezifische Krebsart (das kommt spaeter). Letzteres bedeutet, die sind NUR gueltig fuer die die gegebene Altergruppe. Das ist wichtig fuer mich ganz persønlich (siehe oben) oder fuer Aerzte um abzuschaetzen ab wann Vorsorgeuntersuchungen gemacht werden sollten.
Altersgruppen gehen ueber jeweils fuenf Jahre (mit Ausnahme der allerletzten, die alle Maenner ueber 85 Jahren zusammenfasst) und die Striche an der Abszisse geben die Altersgrenzen an.
Ebenso sind die Zahlen NUR fuer Maenner in Norwegen und die Verbindungslinien zwischen den Punkten sind nur zur besseren Visualisierung der Kurvenverlaeufe (vulgo: um das Auge zu leiten); es gibt natuerlich keine Daten dazwischen.
Die linke Ordinate ist (pro Altersgruppe) fuer die Anzahl der Krebsfaelle (schwarze Kurve) und das jaehrliche Risiko (Crude Rate, rote Kurve). Die rechte Ordinate ist (wieder pro Altersgruppe) fuer das korrigierte (blaue Kurve) und unkorrigierte (lila Kurve) kumulative Risiko.

Zunaechst zur Anzahl der Krebsfaelle. Am Anfang passiert nicht viel und damit man ueberhaupt den Anstieg in den ersten vierzig Jahren sieht, ist die linke Ordinate logarithmisch. Im Wesentlichen zeigt die schwarze Kurve einen linearen Anstieg. Bei logarithmischer Achse bedeutet das, dass das Krebsrisiko mit jedem Lebensjahr exponentiell zu nimmt. Das erklaert auch, warum ich beim letzten Mal meinte, dass die exponentielle Abnahme der Anzahl der zu betrachtetenden Menschen zur Berechnunge des wahre(re)n kumulativen Risikos durchaus plausibel ist.
Das jaehrliche Risiko berechnet sich aus diesen Zahlen und hat (von Ausnahmen abgesehen, siehe weiter unten) dementsprechend den gleichen Verlauf.

Aber Moment mal, hier sagte ich doch, dass die Sterberaten erst ab 30 Jahren exponentiell zunehmen. Das ist leicht zu erklaeren, denn wenn man den Grafen dort anschaut, dann fallen viel viel mehr junge Maenner anderen Sachen zum Opfer als Krebs. Dieser traegt erst ab ca. 30 Jahren signifikant(er) zum Signal bei.

Mit ueber 75 Jahren nimmt die Anzahl der Krebsfaelle wieder ab, aber die Crude Rate (rote Kurve) nimmt weiterhin zu. Dies ist natuerlich dadurch zu erklaeren, dass bei Letzterer die Anzahl der Faelle durch die Anzahl aller Maenner in der Altergruppe geteilt wird. Und der Nenner dieses Bruchs wird schneller kleiner (weil halt wenige Maenner so alt werden) als der Zaehler. Das ist genau der Grund, warum ich an der (altersspezifische) Crude Rate mehr interessiert bin als an der Anzahl der Krebsfaelle; ich will naemlich (wieder) so alt werden.
Es ist zu beachten, dass bei dieser Betrachtungsweise die Crude Rate auch die altersspezifische Rate ist. Das liegt natuerlich daran, dass innerhalb einer Altersgruppe keine anderen Altersgruppen vorkommen und dadurch keine juengeren (oder aelteren) Maenner mit in Betracht gezogen werden muessen. Ach so, die auf die Weltbevølkerung berechnte altersspezifische Rate interessiert mich natuerlich nicht. Ich wohne nunmal in Norwegen.

Das unkorrigierte (!) Risiko fuer eine Altersgruppe ist die jaehrliche Rate mal fuenf. Die lila Kurve hat also den selben (!) Verlauf wie die rote Kurve (nur mit grøszeren Werten). Das sieht man hier aber nicht, weil die rechte Abzsisse eine lineare Ordinate hat (dafuer sieht man aber, was ich oben mit „am Anfang passiert nicht viel“ meinte).
Wenn man das korrigiert bezueglich der Maenner die in der gegebenen Altersgruppe sterben (und damit keinem Risiko mehr ausgesetzt sind), erhaelt man die blaue Kurve. Wie beim letzten mal erwaehnt, sind die Unterschiede nicht bedeutend und machen sich erst bei ueber 70 Jahren ueberhaupt bemerkbar.

Die gute Nachricht fuer heute: mein jaehrliches Risiko (Crude Rate) ueberhaupt irgend einen Krebs zu bekommen betraegt z.Z. nur 0.138 % und ist selbst in hohem Alter nur ca. 5 %. Ich sagte ja, dass eine der wichtigen Erkentnisse war, dass ich mir darueber eigentlich gar keinen Kopf zerbrechen muss.

Genug fuer heute, denn ich wollte doch versuchen, diese Artikel „schlank“ zu halten. Beim naechsten Mal gehe ich kurz auf das kumulative Risiko ab Geburt ein.