Søren in Norwegen

Neulich verwies ich auf so ein paar Dinge die schief laufen im Wissenschaftsbetrieb. Dass der Begriff „Betrieb“ ueberhaupt benutzt wird, und korrekt benutzt werden kann in diesem Zusammenhang, ist meiner Meinung nach die Grundlage dieser Uebel. Aber darueber møchte ich mich heute nicht auslassen.

Vielmehr møchte ich euch, meinen lieben Leserinnen und Lesern, einen Artikel mit dem Titel „Science Rather than God: Riccioli’s Review of the Case For and Against the Copernicus Hypothesis“ von Christopher M. Graney im Journal for the History of Astronomy, 2012, Vol. 43, No. 2, p. 215-226 vorstellen (hier nochmal fuer den Fall, dass der andere Link zu einem verschlossenen Journal fuehrt). Denn dieser machte mich sehr deutlich auf ein zwei, von mir irgendwie immer als wahr und nicht weiter hinterfragte, ja nie so richtig artikulierte, Ideen aufmerksam, die sich dann als nicht ganz so wahr heraus stellten.

Diese sind:
– Galileo und so waren die Guten und haben sich streng wissenschaftlich verhalten,
– die Anderen waren die Bøsen Ignoranten und sind dem Aberglauben gefolgt anstatt wissenschaftlichen Prinzipien.

„Galileo und so“ ist/sind ja bekannt. Als Beispiel fuer „die Anderen“ steht in dieser Geschichte der Jesuit (!) Giovanni Battista Riccioli. Dieser war Astronom und besagter Artikel untersuchte …

[…] his analysis of the case for and against the Copernican hypothesis in his 1651 Almagestum novum.

[…] contrary to […] [popular belief], Riccioli had real arguments to support the geocentric system […] and neither biblical/theological arguments nor the authority of the Church played any significant role in them.

Wait what?!

Ein Jesuit der die Wissenschaft auf ihrem eigenen Gebiet mit ihren eigenen Methoden schlaegt? Auch wenn es sich im Nachhinein dann doch als nicht richtig heraus gestellt hat.

Tatsaechlich! Nicht nur war Ricciolis Analyse:

[…] not dependent on either authority or scripture.

Sondern vielmehr waren seine …

[…] two key arguments — both scientific in nature, …

nicht nur zur damaligen Zeit schwer zu entkraeften (und wir erinnern uns hier an Popper und Wissenschaft und Falsifierzierbarkeit und so) sondern …

[…] both destined to be matters of scientific investigation into the nineteenth century, long after the debate over the world system hypothesis was settled.

Krass wa! Das hørt sich fuer mich an so wie bei Newton. Erst viele Jahrhunderte nach seinem Tod konnte gezeigt werden, dass seine Gravitationstheorie weniger richtig ist, als eine andere Theorie. Dafuer brauchte es erst einen Einstein. Und trotz seiner zahlreichen und langjaehrigen Beschaeftigungen mit Alchemie und biblischer Chronologie, behandeln wir Newton als „richtigen Wissenschaftler“. Schon toll, wenn man so schlau ist, dass man gleich in drei Richtungen ernsthaft forschen kann und noch toller, wenn die eine Richtung (bei Newton die Physik) sich dann auch noch als Erfolg heraus stellt. Die Geschichte hat halt ein sehr selektives Gedaechtnis.
Oopsie … ich schwoff ab.

Jedenfalls Ricciolis zwei Hauptargumente waren …

[…] both difficult to refute at the time […].

Und wissenschaflich ist es, mit dem _vollen_ Wissen zu arbeiten, was einem zur Verfuegung steht und nicht nur mit dem, was einem in den Kram passt. Siehe dazu auch das Zitat am Ende dieses Beitrags.

Aber es wird sogar noch besser, denn …

[t]he argument in the Almagestum novum is a serious-minded analysis, whose overall geocentric conclusions are backed by real scientific argument.

Wait what (again)?!
Manchmal liegt die Wissenschaft halt doch falsch mit ihren Aussagen (siehe auch Newtons Gravitationstheorie) und kann sich erst durch neue Beobachtungen selbst berichtigen. Das aber macht _nicht_ (!) die ganze wissenschaftliche Methode an sich schlecht, sondern das bleibt Wissenschaft.

Soweit zu den Anderen. Die waren also gar nicht so ignorant wie ich dachte, die wussten es nur nicht besser (im Wortsinne), weil die Messungen fehlten. Wer sich dafuer intessiert, fuer den lohnt sich der Artikel wirklich zu lesen. Raeumt er doch gruendlich mit dem oben erwaehnten Mythos auf.

Nun noch zu „Galilei und so“ (und wie ich ueberhaupt erst auf den Artikel aufmerksam wurde). Ich versuche es kurz zu halten und nicht weiter zu kommentiere sonder die Zitate aus diesem Beitrag fuer sich selbst sprechen zu lassen. Aber Achtung: liebgewonnene (Helden)Mythen kommen hier ins wackeln.

Los geht’s.

The heliocentrism-geocentrism debates were common among astronomers of the day, and were not hindered, but even encouraged by the pope.

Huh?

The Church didn’t suppress science, but actually funded the research of most scientists.

WTF?
Krass wie sehr wir ich gepraegt bin von diffusen Ideen ueber die sogenannte „Aufklaerung“ und unseren meinen „romantischen Vorstellungen“ wie viel besser wir doch sind, als das sogenannte „dunkle Mittelalter“.

Im Uebrigen lohnen sich auch dieses und jenes Kommentar zu dem oben verlinkten Beitrag, tragen diese doch so schøn zur Differenzierung der Sache bei.

Und vøllig aus dem Zusammenhang gerissen, aber da ich gerade dabei war liebgewonnene Vorstellungen zu hinterfragen: Inventing the Crusades. Das liest sich auch alles deutlich anders, als ich das bisher kannte.

Aufgrund gewisser Umstaende, auf die ich hier nicht eingehen mag, hørt man immer wieder mal, dass Elektroautos nur was fuer Reiche waeren und andere so kurzsichtige Redebeitraege.

Mein Bauchgefuehl sagt mir, dass seit Urzeiten bestimmt die immer gleichen Argumente zu høren sind, egal ob es um die Einfuehrung des Kuehlschranks, des Autos, des Computers, der Windturbinen etc. pp. ging.

Aber mglw. ist das ja auch gar nicht so schlecht. Denn die einzigen zwei grøszeren, gesellschaftsrelevanten Dinge die mir einfallen, bei denen gleich alle meinten, dass das ganz wunderbar ist, sind absolute Katastrophen in vielerlei Hinsicht: Kernkraftwerke und sog „Smart“-phones. Die Misere mit Ersteren brauch ich vermutlich nicht weiter zu erklaeren, und fuer Privatsphaere und Selbstbestimmtheit interessiert sich sowieso niemand.

Aber zurueck zu dem, was ich eigentlich sagen wollte.

Als die Straszen fuer die Autos der Reichen ausgebaut wurden … damals … vor ueber 100 Jahren, dauerte es nicht lange, bis die Buerger auch Autos hatten.

Als die Reichen sich Kuehlschraenke kauften, gab es pløtzlich das Geschaeftsmodell „Kuehlschraenke bauen und verkaufen“ und die wurden billiger fuer normale(ere) Buerger.

Wenn jetzt Steuerverguenstigungen und so Kram den Reichen zu Elektroautos verhelfen, dann fahren die auch damit rum. Und das wird cool und ein Statussymbol mit Elektroautos zu fahren. Und dann wollen das alle haben.

Deswegen meine ich, dass das langfristig gesehen gut investierte Steuergelder sind.

Und wie macht man Dinge „cool“? Indem man sie auf die Titelseiten der Boulevardzeitung druckt mit einem „coolen Titel“:

„Die Zukunft ist ELEKTRISCH – Grosze Uebersicht ueber _neue_ El- und Hybridautos.“

Wie in den letzten Beitraegen immer wieder geschrieben, ist es statistisch møglich, dass eine faire Muenze zu ungewuenschten Resultaten fuehrt.

Was man also braucht, ist eine unfaire Muenze, von der wir wissen, wie sie sich verhaelt, aber ohne, dass es auffaellt.
Die Muenze darf also nicht all zu sehr vom normalen Verhalten abweichen.

Etwas mathematischer ausgedrueckt, haette ich also gern eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Als Erstes dachte ich da an eine Poisson-Verteilung. Und auch wenn ich das weiter unten Aufgefuehrte auch alles damit bestaetigen konnte, so ist diese unter gewissen Umstaenden allerdings zu auffaellig bzw. in anderen Faellen unnuetz, da sie sich zu wenig von einer Normalverteilung unterscheidet.

Und dann erinnerte ich mich an eines der schønsten Erlebnisse meiner Studienzeit: wie ich in der Thermodynamik mit der Maxwell-Boltzmann-Verteilung bekannt wurde.

Aber bevor ich ins Schwaermen gerate, stelle ich sie lieber vor:

Wie immer wird die Wahrscheinlichkeit, dass eine Eigenschaft von Interesse (bspw. die Geschwindigkeit der Atome/Molekuele eines Gases) einen bestimmten Wert hat aufgetragen.
Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten (die Flaeche unter der Kurve) ist gleich 100 %.
Es gibt keine Werte kleiner Null und die Maxwell-Boltzmann-Verteilung hat einen langen „Schwanz“ zu groszen Werten der Eigenschaft von Interesse, mit allerdings sehr kleinen Wahrscheinlichkeiten.

Abgesehen von dem letzten Punkt, scheint die Maxwell-Boltzmann-Verteilung auf den ersten Blick der Normalverteilung sehr zu aehneln. Eine Tatsache, die ja durchaus gewuenscht ist.
Aber um sicher zu gehen, dass die Aehnlichkeit nicht zu grosz ist, schauen wir uns diese Verteilung mal etwas naeher an:

Dies ist die selbe Kurve wie im ersten Bild, aber diesmal mit Zahlen. Es ist die Haeufigkeit einer Eigenschaft von Interesse bei 100.000.000 Ereignissen aufgetragen. Man kønnte sich bspw. die Geschwindigkeit von 100.000.000 Gasmolekuelen denken.

Im linken Bild ist die Haeufigkeit linear abgetragen, im rechten Bild logarithmisch. Man beachte, dass die Ordinatenachse im linke Bild nur bis 400 reicht. Der Grund dafuer ist der im ersten Bild zu sehende „Schwanz“, der wenig (visuelle) Information liefert bei linearer Abszisse.

Die rote Kurve ist eine Gausskurve mit dem gleichen Schwerpunkt (dem wahrscheinlichsten Wert der Eigenschaft von Interessen fuer ein Ereigniss) und angpasster Standardabweichung.

Das meiner Meinung nach Interessanteste an der Maxwell-Boltzmann-Verteilung ist, dass der Mittelwert der Eigenschaft von Interesse fuer alle Ereignisse NICHT mit dem wahrscheinlichsten Wert uebereinstimmt.
Man stelle sich ein Person vor, die nicht schwimmen kann, welche einen See ueberqueren muss, dessen Bodenprofil derart ist, dass die Tiefe aller Punkte mittels einer Maxwell-Boltzmann-Statistik beschrieben werden kann. Nun ja, im Mittel ertrinkt diese Person, aber am wahrscheinlichsten ist, dass sie (oder er) ueberlebt.

Verrueckt wa! eine coole Verteilung eben.

Ein Vergleich der Kurven zeigt, dass Ereignisse mit der Eigenschaft von Interesse linksseitig des wahrscheinlichsten Wertes seltener auftreten als bei einer Normalverteilung; rechtsseitig hingegen haeufiger. Dies gilt auch, wenn man den Schwerpunkt der Normalverteilung auf den wahrscheinlichsten Wert legen wuerde.

Legt man nun fest, dass Werte der Eigenschaft von Interesse kleiner oder gleich als der wahrscheinlichste Wert als „Zahl“ zu interpretieren sind und alle anderen als „Kopf“, hat man eine unfaire Muenze.

Ich liesz meinen Rechner wieder eine Weile rechnen um genuegend „Muenzwuerfe“ beisammen zu haben.

Damit es nicht langweilig wird, komme ich gleich zu den Kopf- und Zahl-Kettenverteilungen und deren Anstieg bei vielen (unfairen) Muenzwuerfen.

Jippie! Diese Muenze ist tatsaechlich unfair! Die Wahrscheinlichkeit eine lange Kopf-Kette zu erhalten ist bei laengeren Kopf-Ketten mehrere Grøszenordnungen høher als die fuer eine Zahl-Kette der gleichen Laenge.

Im Anstieg dieser Kurven, welcher hier noch urspruenglich als „Zerfallskonstante“ falsch interpretiert wurde, steckt also wie vermutet tatsaechlich die Verteilung drin. Mathematisch stellte ich das zwar schon beim letzten Mal dar, aber ’s ist doch schøn auch „in Echt“ zu sehen.

In Terminator 2: Judgment Day unterhalten sich der T-800 und der T-1000, zwei kuenstliche Intelligenzen, uebers Telefon und versuchen den jeweils Anderen davon zu ueberzeugen, dass sie Menschen sind.

SO haben wir uns die Zukunft vor 25 Jahren vorgestellt.

Heute hingegen herrscht Fantasielosigkeit. Der T-1000 wuerde vermutlich T-800 2.0 heiszen *rolleyes*.

Davon abgesehen denke ich, dass der T-800 eine echte (kuenstliche) Intelligenz ist, wohingegen ich mir beim T-1000 nicht ganz so sicher bin.

Das ist ungefaehr so wie der Unterschied zwischen Chappie und Ava in Ex_machina.

Letztere sieht fancy pancy aus, wie der Film selber, aber meiner Meinung nach, zeigt sie keine echte Intelligenz sondern nur, wie geschickt sie programmiert wurde, sodass sie es schafft uns „auszutricksen“. Ihr Programm wird also doch wieder nur abgearbeitet.

Chappie hingegen ist sehr wohl intelligent. Widersetzt er sich doch … mhm … seinen Schøpfern.

Leider scheint mir, dass sich die sog. „Kritiker“ mehr am Anschein orientieren, als an dem, was hinter einem Film steckt. Schade eigentlich. *rolleyes* … Aber so ist das nun mal mit den sog. „Experten“.

Der urspruengliche Anlass warum ich meine „Science-Reihe“ schrieb, war der Artikel „Science’s Biggest Fail“ von Scott Adams.

Darin ging es sehr konkret um all die Pseudo“wissenschaft“ hinter so vielen Dingen, die mit unseren Ernaehrungsgewohnheiten zusammen haengen.

Auf dieses ganz konkrete Thema geht Richard Smith in seinem Artikel „Are some diets “mass murder”?“ in The BMJ (British Medical Journal), 2014; 349:g7654 ein.

Dieser Artikel ist nicht nur ein schønes Beispiel all der Dinge, die ich diesbezueglich bereits schrieb, sondern auch fuer die wirkenden Mechanismen der Selbstkorrektur und der Wissenschaft.

Aber im Speziellen viel interessanter ist der Artikel „Academic urban Legends“ von Ole Bjørn Rekdal in Social Studies of Science, Vol 44, Issue 4, 2014.

Denn vom Mythos, dass Spinat viel Eisen enthaelt, habt ihr, meine lieben Leserinnen und Leser sicherlich gehørt.

Und bestimmt auch gehørt habt ihr, dass dies nicht stimmt, sondern dass dieser Mythos durch das Verrutschen eines Kommas zustande gekommen ist.

Letzteres hørt sich also an wie wie diese tolle wissenschaftliche Selbstkorrektur von der ich øfter mal spreche.

Nun ja …

… die Sache ist etwas komplizierter und der erste Mythos ist eigentlich wahr, aber irgendwie ist das nicht relevant und …

… aehm …

… aehm …

… ach lest es selbst!

Wissenschaftler sind halt auch nur Menschen. … … … Hab ich gehørt.

Fuer Schneematsch gibt es im norwegischen eine echt tolles Wort: „slaps“. Das wird ausgesprochen wie „Schnaps“ nur mit „L“ anstatt „N“.

In Slaps Fahrrad zu fahren ist echt aetzend. Auszerdem ist es kalt im Winter. Auch habe ich den Eindruck, dass die Winterreifen deutlich mehr Energie aufnehmen, als die Sommerreifen. Diese Energie steht dann natuerlich nicht mehr als kinetische Energie zur Verfuegung. Und (vor allem) durch das Salz auf den Straszen rostet die Kette total schnell.

Aber es gibt auch Vorteile im Winter: die zum radeln im Winter zu bequemen Studenten blockieren nicht mehr die besten Parkplaetze :)

Ich hørte zwar bereits vorher von Namen die scheinbar schicksalshaft die Berufswahl „bestimmen“, aber erst neulich fand ich heraus, dass es dazu auch einen Fachbegriff gibt: Aptronym.

Ganz besonders gefaellt mir

Thomas Crapper, sanitary engineer.

Tihihihi … passenderweise zieren sich Gullideckel und Toilettenspuelungswasseraufbewahrbehaelter mit seinen Namen.

Diesen Eintrag wollte ich schon laenger schreiben (seit ca. Januar 2016), der blieb aber immer und immer wieder liegen.

Am Anfang fehlte die Fotos und dann hatte ich immerzu andere Dinge, ueber die ich lieber schreiben wollte.

Es geht um meine selbstmontierten Scheibenbremsen. Hier ist die fuer das Vorderrad zustaendige Bremse:

Seit vielen Jahren wollte ich Scheibenbremsen haben. Hubert kaufte ich aber zu einer Zeit, als diese noch relativ neu waren fuer Fahrraeder. Oder zumindest in 2005 waren in der Preisklasse in der sich Hubert befand Scheibenbremsen eher ungewøhnlich.

Huberts Rahmen erlaubte zwar eine Scheibenbremse fuer das Vorderrad, aber nicht fuer das Hinterrad.

Im Winter 2015 dachte ich dann zum ersten Mal wirklich und wahrhaftig daran, mir ein Neues Fahrrad zu kaufen. Der Hauptgrund war, dass ich nun auch im Winter mit dem Fahrrad fuhr und die Bedingungen mit Schnee und Eis und Matsch und Kaelte hier deutlich anders sind als anderswo im Winter. Da wollte ich lieber Scheibenbremsen haben. Das fuehlte sich sicherer an.
Auszerdem stand ohenhin eine grøszere Investition an, denn der Aluminiumrahmen meiner Raeder war durch langjaehriges Bremsen bereits so duenn geworden, dass mir ein (sehr) Vielfahrradfahrer sagte, dass er da nicht mehr mit fahren wuerde.

Und auch wenn jede Menge Sachen an Hubert ohnehin nicht mehr original waren, so tat es mir doch im Herzen weh ein komplett neues Velociped zu kaufen, denn (vor allem) der Rahmen war ja noch gut.

Besagter Vielfahrradfahrer machte mich dann aber drauf aufmerksam, dass es Adapter fuer soche Rahmen wie Huberts gibt, sodass die Montage einer Scheibenbremse auch fuer hinten møglich ist.

Zusammen mit dem Angebot, dass er mich bei der Montage anleitet (denn ich wollte so gerne selber schrauben :) ) dachte ich dann: .oO(JIPPIEE!!! Hubert wird leben!)

Und hier ist sie:

Der Adapter ist deutlich zu erkennen.

Leider, leider, leider, ist Hubert zum Zeitpunkt als ich dies schreibe (2017-03-30) unheilbar krank und muss nun doch sterben.

Das Kugellager fuer die Lenkeinrichtung ist kaputt und der Vielfahrradfahrer meint, dass das Innere des Rahmens, dort wo die Kugeln drin rollen vermutlich irreparabel beschaedigt ist. Das Kugellager selbst kønnte zwar prinzipiell ausgetauscht werden, es wuerde aber langfristig Nichts bringen. Hinzu kommt, dass Hubert so alt und Teile fuer Fahhrraeder nicht standardisiert sind, sodass es eher schwer werden wuerde, ein neues Kugellager zu besorgen.

Das finde ich sehr schade. Aber zum Zeitpunkt des Schreibens ist noch nichts entschieden. Ich werde Hubert so lange wie møglich fahren :) . Liegt mir mein Fahrrad doch sehr am Herzen.

Slalom sieht gefaehrlich aus. Und wenn ich da mit dem jungen Mann der bei mir wohnt um die Wette den Berg runter sause, dann fuehlt’s sich auch so an.

Aus Prinzip und fuer’s bessere Gefuehl trage ich deswegen einen Helm. Und bei ein paar ungeplanten Stuerzen, bei denen der Kopf auf den doch eher harten Untergrund knallte, hat mich Selbiger auch auch schon vor schlimmeren Kopfverletzungen bewahrt.

Gegen blendenden Schnee, Sonne in die Augen und den Wind hilft eine Brille ganz famos. Damit kann man dann auch noch schneller den Berg runter fahren.

Und weil Schlange stehen zum Ausleihen solcher Sachen doof ist, habe ich mir die nøtige Ausruestung dann selbst gekauft:

Und so sehe ich damit aus:

Toll wa!

.oO(Wird Zeit, dass’s wieder schneit!)

Beim letzten Mal schrieb ich ueber die (eher zufaellige) Entdeckung der versteckten Eleganz des Universums in Muenzwuerfen.

Dies konnte ich natuerlich nicht einfach so auf sich belassen und schaute mir mal an, wie das bei Experimenten unterschiedlicher Laenge aussieht:

Die Verteilungen der Kopf-Ketten bei unterschiedlich lang dauernden Experimenten sind parallel zueinander. Da muss also mehr dahinter stecken.

Wenn bei logarithmischer Darstellung Geraden zu sehen sind, dann faellt mir als Physiker natuerlich erstmal ein, diese mittels einer exponentiellen Funktion zu modellieren. In diesem Fall waere es natuerlich ein exponentieller Zerfall und das sieht so aus:

Das Reziproke der Zerfallskonstante ist 0,6931. Und das war mir verdaechtig nahe dem Wert der Standardabweichung der Normalverteilung.

Also dachte ich, dass da mehr dahinter steckt. Dass møglichwerweise in der Zerfallskonstante irgendwie die angenommene Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt.

Das war so nicht ganz richtig, aber auch nicht vøllig daneben. Zu Letzterem aber mehr in einem spaeteren Beitrag. An dieser Stelle sei nur so viel gesagt, dass ich ein paar Ueberlegungen anstellte und noch mehr Experimente machte, dies mich aber dem Geheimnis hinter dem Wert der Zerfallskonstante nicht naeher brachte.

Also fasste ich allen Mut zusammen und sprach mal mit einem Mathematikexperten darueber. Zufaelligerweise .oO(Wortspielkasse!) war gleich der erste Experte mit dem ich sprach, Øyvind Bakke, ein Professor der sich professionel mit Statistik beschaeftigte.

Als ich mein Problem beschrieb, hatte er nicht gleich die Løsung parat. Aber die trudelte wenig spaeter per elektronischer Post ein.

Natuerlich ist das, mit dem ich hier auf meinem niedriegen Niveau spiele, schon lange erforscht. Und die vermutete Eleganz ist tatsaechlich vorhanden. Aber dafuer muss ich etwas weiter ausholen und leider (?) zum ersten Mal in diesem Weblog mit Formeln arbeiten.

Traditionellerweise wird die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Ergebniss eintritt als \(p\) bezeichnet. Das steht møglicherweise fuer „probability“. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, kann niemals grøszer sein als 100%.
Wenn mehrere Ereignisse eintreten kønnen, so ist die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 100%. Da man immer das Resultat „es passiert nichts“ mit einbeziehen muss, ist also garantiert, dass immer irgendwas passiert … Tihihihi.
Bei einem Muenzwurf kønnen nur zwei Ereignisse eintreten. Die Wahrscheinlichkeit fuer „Zahl“ sei mit \(p\) bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit fuer „Kopf“ ist dann natuerlich 100% minus die Wahrscheinlichkeit fuer Zahl. Da 100% gleich 1 (eins) ist, kann man dies schick schreiben als \((1-p)\).
Im Fall einer fairen Muenze ist diese Wahrscheinlichkeit \(p\) natuerlich 1/2, aber ich møchte zunaechst auf dieser etwas abstrakten Ebene verbleiben.

Wenn Kopf liegt, dann betraegt die Wahrscheinlichkeit Zahl im naechsten Wurf zu bekommen: \(p\).
Wenn Kopf liegt, dann betraegt die Wahrscheinlichkeit nochmals Kopf im naechsten Wurf zu bekommen: \((1-p)\).
Die Wahrscheinlichkeit, dass man, wenn Kopf bereits liegt, bei zwei weiteren Wuerfen Kopf und dann Zahl bekommt ist also: \((1-p)\cdot p\). Dies ist die Wahrscheinlichkeit fuer eine Kopf-Kette der Laenge 2. Nicht vergessen, es lag bereits Kopf und wir haben dazu noch zwei Wuerfe dazu genommen und im letzten Wurf wurde die Kette mit Zahl abgebrochen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass man, wenn Kopf bereits liegt, bei drei weiteren Wuerfen Kopf, nochmals Kopf und dann Zahl bekommt ist: \((1-p)\cdot (1-p) \cdot p\). Dies ist die Wahrscheinlichkeit fuer eine Kopf-Kette der Laenge 3.
Dies setzt sich weiter fort und die Wahrscheinlichkeit eine Kopf-Kette der Laenge \(n\) zu erhalten ist somit: \((1-p)^{(n-1)}\cdot p\).

Dies ist eine sogenannte geometrische Verteilung.

Meine empirischen Experimente kann man nun interpretieren als Frequenz \(f\), wie oft eine Kopf-Kette der Laenge \(n\) auftritt.

Da ich die Frequenz logarithmisch aufgetragen (und wichtiger mittels eines exponentiellen Zerfalls modelliert) habe erhalte ich also:

\(\ln f = \ln \left[ (1-p)^{(n-1)} \cdot p\right] = (n-1)  \cdot \ln(1-p) + \ln p\).

Um die Abbildung und insbesondere den Verlauf der roten Kurve zu beschreiben, muss man im Hinterkopf haben, dass in diesem Falle \(n\) das Argument und \(f\) der Funktionswert ist.
Benutzen wir nun ganz konkret 1/2 als die Wahrscheinlichkeit Zahl zu werfen ein, so erklaert sich der Wert fuer den „Abfall“ der Modellierungskurve – die Zerfallskonstante (oder vielmehr das Reziproke der Zerfallskonstante). Der Logarithmus naturalis von 2 ist naemlich ungefaehr 0,6931.
Warum ich jetzt das Reziproke der Zerfallskonstante betrachtet habe, haengt damit zusammen, wie man den exponentiellen Zerfall definiert. Oft wird dieser naemlich mit einem Bruch im Exponenten geschrieben und wenn man den nicht haben will, nimmt man einfach den reziproken Wert. Aber ich verliere mich hier gerade etwas in Details.

Passen wir  nun den im vorherigen Bild gezeigten Datensatz mit dem richtigen Modell an, so erhalten wir:

YEAH!!! Das passt ja super!
Die graue Kurve ist der bereits oben besprochene exponentielle Zerfall, denn ich finde es schon interessant, wie sich zwei vøllig verschiedene Modelle (und damit Implikationen) der Realitaet doch ziemlich gut annaehern. Das ist so wie der Unterschied zwischen den Gravitationstheorien von Newton und Einstein. Beides sind nur Modelle und Newton ist definitiv mehr falsch als Einstein. Aber wenn ich mich nur in Bereichen bewege, in denen das nicht relevant ist, muss ich mich  nicht mit der komplizierteren Sache herumschlagen. Toll wa!

Nun da die Neugier, wo die Eleganz des Universums herkommt, befriedigt ist, komme ich zurueck zum eigentlichen Thema: „Wie unfair ist eine Muenze zu mir, wenn ich diese werfe?“

Dies ist in diesem Bild veranschaulicht:

Hier sind untypische Kopf-Ketten Verteilungen fuer jeweils zwei Experimente (aus jeweils 1.000)  mit jeweils 1.000 bzw. 10.000 Wuerfen dargestellt. Denn 1.000 Mal eine Muenze werfen ist durchaus etwas, was man machen kann. Da braucht man nur eine Klasse mit 10 Schuelern und laeszt die 100 Mal ’ne Muenze werfen. Bzw. macht man das 10 Jahre lang, dann hat man 10.000 Muenzweurfe.

Passt man die Ergebnisse mittels der geometrischen Verteilung an, um den Wahrscheinlichkeitswert fuer Zahl heraus zu bekommen, so kønnen sich diese Werte massiv voneinander unterscheiden. Ich muss zugeben, dass die hier gezeigten Werte nicht nur untypisch, sondern extrem waren, suchte ich doch extra die grøszten / kleinsten Wahrscheinlichkeitswerte unter all den jeweils 1.000 Experimenten heraus.

Die extremen Wahrscheinlichkeitswerte fuer die Daten im linken Graphen bedeuten, dass selbst bei 1.000 Wuerfen mit einer eigentlich fairen Muenze, die Schwankungen so extrem sein kønnen, dass es aussieht, dass die Muenze NICHT fair ist, sondern eine (erhebliche!) Tendenz zu einem der beiden Resultate hat. Und dabei denkt man doch landlaeufig (also zumindest ich dachte das bisher), dass 1.000 Wuerfe schon ’ne gute Statistik sind.

An den Wahrscheinlichkeitswerten im rechten Graphen sieht man aber auch, dass die extremen Werte weiter zusammen ruecken. Untypische Kopf-Ketten Verteilungen werden also immer typischer. Im Falle des 1.000-mal-10-Millionen-Wuerfe-Experiments betrug die Diskrepanz zwischen den beiden extremsten Wahrscheinlichkeitswerten uebrigens nur noch ca. 0,0021.

Aber 10 Millionen Wuerfe. Da braucht man schon die Schueler eines ganzen Landes fuer um das zu realisieren … .oO(MUAHAHAHAHAHA).