Hier gezeigt ist die Entwicklung der Haeufigkeiten der Zeichenketten von „0900“ bis „1000“.<\/p>\n Bei einer Fibonaccifolgenlaenge von nur 100 Zeichen, kommen auch nur ca. 100 vierstellige Zeichenketten vor. Also im Durchschnitt kommt jede von den 10.000 vierstelligen Zeichenketten 0.01 mal vor. Dies zeigt die linke obere Verteilung sehr deutlich.<\/p>\n Bei einer Fibonaccifolgenlaenge von 10.000 Zeichen, kommt jede vierstellige Zeichenkette im Schnitt genau ein Mal vor. Dies bestaetigt die rechte obere Verteilung. Bei einer Fibonaccifolgenlaenge von 1010<\/sup> Zeichen ist die Erwartung, dass jede vierstellige Zeichenkette durchschnittlich eine Million mal auftritt. Dies sieht man in der linken unteren Verteilung bestaetigt. Im Balkendiagramm von 0 bis 1.000.000 gehen die Feinheiten aber unter. Deswegen ist unten rechts der Bereich der Verteilung um den Wert „1.000.000“ aufgespreizt zu sehen.<\/p>\n Und hier beginnt es interessant zu werden.<\/p>\n Dieses Zappeln um den Mittelwert ist ja das eigentliche Ziel meiner Fragestellung. Ist das normalverteilt? Ich k\u00f8nnte hier gleich das Ergebnis praesentieren. Das waere aber langweilig. Zur Analyse ist es unpraktisch, sich die Rohdaten anzuschauen. Da erhaelt man keine wesentlichen Informationen, denn ich habe ja prinzipiell 10.000 verschiedene Haeufigkeiten. Nun ist meine Vermutung aber, dass es deutlich wahrscheinlicher ist, dass das Vorkommen einer Zeichenkette um den Mittelwert liegt, als fern ab davon. Um dies besser zu „sehen“, erstellte ich fuer jede Potenz der Fibonaccifolgenlaenge ein Histogramm<\/a> der Haeufigkeiten vierstelliger Zeichenketten. Bei diesen Histogrammen „mittelte“ ich derart, dass ich 100, gleich weite Balken hatte. Dieses Histogramm sollte dann natuerlich einer Normalverteilug entsprechen. Dazu aber an anderer Stelle mehr.<\/p>\n Es gibt die folgenden interessanten Gr\u00f8szen: Dies alles natuerlich in Abhaengigkeit von der Laenge der Fibonaccifolge.<\/p>\n Maximales und minimales Vorkommen sind nur in so fern von Interesse weil sich daraus andere Daten ergeben.<\/p>\n „Delta Minus“ und „Delta Plus“ haben eigentlich keine Bedeutung. Aber ich wollte gern mal wissen, ob die Abweichung nach oben tendentiell gr\u00f8szer ist, als die nach unten (oder umgekehrt).<\/p>\n Bis zu einer\u00a0Fibonaccifolgelaenge von 10.000 Stellen war das minimale Vorkommen immer null. Natuerlich gab es Zeichenketten, die ueberhaupt nicht aufgetaucht sind, wenn es nur so wenige potentielle Zeichenketten ueberhaupt gab. Der Betrag des maximalen Abstands vom Vorkommensmittelwert nach unten (DeltaMinus, rote Punkte im unteren Grafen) ist zunaechst immer gr\u00f8szer als der Abstand nach oben (DeltaPlus, schwarze Punkte im unteren Grafen). Erst im ganz letzten Messwert kommt es zu einem Umschlag dieses Verhaltens. Erwarten wuerde ich, dass es hierbei keine Praeferenz gibt. So weit scheinen die Daten allerdings Letzteres zu suggerieren. Mehr Daten sind vonn\u00f8ten und ein strenger mathematischer Beweis dieser Behauptung.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/www.soeren-in-norwegen.net\/blog\/wp-content\/uploads\/05_Verteilung1-800x551.png\")
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\nHier spielt uns die menschliche Wahrnehmung aber einen Streich. Es scheint, als ob Haeufigkeiten von 2, 3 und gar 4, mal deutlich die Zahl der „Nullvorkommen“ ueberwiegen. Dem ist aber nicht so. Manuelles Nachzaehlen ergab, dass alle Haeufigkeiten die ueber eins liegen, die „Leerstellen“ ziemlich genau „auffuellen“, so dass im Durchschnitt eine Haeufigkeit von eins heraus kommt. So wie erwartet.<\/p>\n
\nWie haeufig eine bestimmte Zahlenfolge vorkommt, ist also ueberhaupt nicht von Interesse. Aber wie sich die Haeufigkeit eben dieser Zahlenfolge von den Haeufigkeiten aller anderen Zahlenfolgen unterscheidet, DAS ist das Interessante. \u2026 Das Zappeln um den Mittelwert halt.<\/p>\n
\nZunaechst einmal schauen wir uns das Zappeln und die Entwicklung des Zappelns ein bisschen naeher an.<\/p>\n
\n– maximales und minimales Vorkommen;
\n– die Differenz daraus ergibt die Fehlerspanne;
\n– „DeltaMinus“ und „DeltaPlus“, der maximale Betrag der Abweichung vom Vorkommensmittelwert nach unten bzw. nach oben;
\n– eine Groesze die ich „relativer Fehler“ nenne: Quotient aus Fehlerspanne und Mittelwert.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/www.soeren-in-norwegen.net\/blog\/wp-content\/uploads\/06_MaxMin_DeltaPlusMinus1-545x800.png\")
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\nDas maximale\/minimale Vorkommen nimmt, wie zu erwarten war, exponentiell\u00a0 zu, nachdem die Fibonaccifolge eine Mindestlaenge von 10.000 Zeichen ueberrschritten hat.<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/www.soeren-in-norwegen.net\/blog\/wp-content\/uploads\/07_Fehlerspanne_relativer-Fehler1-530x800.png\")
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